雑に読む『線形代数 (モストウ、サンプソン)』
動機
目標takker.icon
1日定理x1 & 問題 x2
どんなに忙しくても必ず毎日やるタスクのテスト
めちゃくちゃ忙しくても、例えば1問解くくらいなら数分でできるはず
だめだったらもっと細かくする
だめだ意外と時間がかかる
数式に限れば、typingより手書きしたほうが早い
いちいちkatex書くのはさすがにつらい
とりあえず、最初の3日くらいは定理x1 & 問題 x2ですすめてみて、それらにかかった時間から今後のペースを決めよう
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n min
2023-03-22 3 16
2023-03-29 1 N/A
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どんなに忙しくても必ず毎日やれなかった……
連立方程式とかとっくに知っていることだし
もちろん実際に解いてみてだいぶ引っかかているので、理解が足りなかったということがわかった点と、より理解を正確にできるという点で、やることにメリットは有る
しかし、だいたい理解しているところより、あまり理解していないところを先に進めるべきではないだろうか
takker.icon的には関数空間をやりたい
明確な期日つきの目標があれば、方針を決めやすいのだろうが、今回はそれがないので決めにくい
「毎日少しでもやる」が最優先目標
あ、関数空間と今やっているところを、一日づつ交互に解いていけばいいのか
解決
完了条件
全章の定理と問題をとく
目次
各節末に練習問題がある
1 ベクトル空間と内積
1 はじめに
練習問題 x5
1. 次の1次方程式において、解は1点を、1直線を、あるいはまた1平面を形成するか、それとも解は全く存在しないか
a
1. $ x+y-z=0
2. $ x+y+2z=1
3. $ 2x+2y+z=1
解
$ 3(x+y)=1
$ 1+6z=3\iff 6z=2\iff z=\frac13
$ xと$ yは不定なので、解は直線を成す
2面が交わっているイメージtakker.icon
(1.)+(2.)=(3.)だったから、そっちから攻めたほうがすぐ求まったか
b
1. $ x=y+z+1
2. $ y=x-z-1
3. $ z=x-y-1
解
(1.)+(2.)=$ x=y
(3.)+(1.)=0
$ \therefore(3.)=(1.)
3.の$ -y-1を移項すると1.になる
あ、(1.)=(2.)じゃん
てことは解は1平面を成す
c
1. $ x=y+z+1
2. $ y=x-z-1
3. $ x-y-z=0
解
1.=2
2.+3.=$ x-z=x-z-1\iff0=-1\iff\bot
2.と3.が矛盾するので、解は存在しない
16:56:21 そろそろ締め出される！
17:02:19 終了
2. $ x,y,zに関する3つの1次方程式の1組で、ただ1つの解として$ (1,0,0)をもつものを書け
つまりtakker.icon
$ \pmb{A}\cdot(1,0,0)^\top=\pmb{b}\land\det\pmb{A}\neq0を満たす$ \pmb{A},\pmb{b}を求めれば良い
ようは$ \pmb{A}が正則で、$ \pmb{A}の1列目が$ \pmb{b}と等しければいいわけだ
例
$ \pmb{A}=\pmb{I}(単位行列)、$ \pmb{b}=(1,0,0)
17:06:02 おわり
3. $ (1,0,0)と$ (0,1,0)とを解にもつ$ x,y,zの3元連立方程式を一つ書け
この2つの位置vectorを含む面 or 直線が解となる3元連立方程式を作ればいい
直線の場合
$ \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=s\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\text{ .for }\exist s\in\R
$ y=1を通り、x軸に平行な直線
うーん、いい感じのが思いつかないtakker.icon
$ \iff y=1\land z=0
いやそれはそうなんだけど……takker.icon
$ \begin{pmatrix}a_{00}&a_{01}&a_{02}\\a_{10}&a_{11}&a_{12}\\a_{20}&a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}b_0\\b_1\\b_2\end{pmatrix}形でうまいこと言い表せませんか？
面の場合
$ \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=s\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\text{ .for }\exist s,t\in\R
$ \iff z=0
これもつまらない結果になっちゃった
というか、これらは3元連立方程式ではないから解にはならない
掃き出し法の逆を使って$ \begin{pmatrix}a_{00}&a_{01}&a_{02}\\a_{10}&a_{11}&a_{12}\\a_{20}&a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}b_0\\b_1\\b_2\end{pmatrix}をなんとか導くしかないのか $ y=1\land z=0
$ \iff \begin{pmatrix}0&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}
$ \iff \begin{pmatrix}0&1&1\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}
ええ……これ以上展開できなくない？
$ \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=s\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\text{ .for }\exist s\in\Rと置いたのがよくなかったか
これを通る面は
https://kakeru.app/e264a9a9a4b533d94ff32ad05971768b https://i.kakeru.app/e264a9a9a4b533d94ff32ad05971768b.svg
x軸につねに平行な面しか選べない
https://kakeru.app/19feffe0335dbe335e0c4f1031fa19d5 https://i.kakeru.app/19feffe0335dbe335e0c4f1031fa19d5.svg
図が下手くそォ！！takker.icon
x軸に平行な面は、どの$ (y,z)の組み合わせでも$ xを任意の値で取れる
なので$ xの係数は、どうあがいても$ 0にしかならない
ここから、$ x軸に平行でない直線を使えば、$ xの係数が0でなくなる事がわかる
$ x+y=1\land z=0でいいや
https://kakeru.app/0ea78a065f2a0742620d9efc32259185 https://i.kakeru.app/0ea78a065f2a0742620d9efc32259185.svg
$ x+y=1\land z=0
$ \iff \begin{pmatrix}1&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}
$ \iff \begin{pmatrix}1&1&0\\3&3&1\\-1&-1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\3\\-1\end{pmatrix}
できたー！
3つの1次方程式で表される3面が、$ y=1を通り、x軸に平行な直線でちょうど交わるように構成できればいい
2 3次元のベクトル空間
練習問題 x4
3 複素数の場
言われてみればこれ書き出したこと一度もなかったtakker.icon
ここでやっておこう
テキストには丁寧に羅列されているが、書き出すのがめんどいので一言で済ませた
2. $ \R\subseteq\Complex\land i\in\Complex
such that$ i^2=-1
3. $ \forall z\in\Complex\exist x,y\in\R;z=x+yi
定理 x4
1. $ \forall z\in\Complex\exist!x,y\in\R;z=x+yi
複素数の性質3.の一意性を示す定理
2023-03-22 17:07:35 とく
といっても、辺々を引くだけで終わりでしょtakker.icon
$ \forall z\in\Complex\forall x,y,s,t\in\R;
$ z=x+yi\land z=s+ti
$ \implies 0=(x-s)+(y-t)i
$ \iff 0=x-s=y-t
$ \because \forall z,w\in\Complex;z=w\iff\Re z=\Re w\land\Im z=\Im w
$ \iff x=s\land y=t
これで一意性を示せた
17:15:47 おわり
練習問題 x4
4 実, 複素ベクトル空間
定理 x1
練習問題なし
5 ベクトル空間$ \Bbb{C}^n,\R^n
定理 x1
練習問題 x1
6 $ \Bbb{C},\Rにおける長さと角
定理 x3
練習問題 x6
定理 x3
練習問題 x7
8 関数のベクトル空間
定理 x4
練習問題 x10
定理 x6
練習問題 x9
2 線形写像と1次従属
1 はじめに
2 写像
3 ベクトル空間の線形写像
4 線形写像の代数学
5 1次従属と次元
3 行列
1 はじめに
4 基底の変更
4 行列式, 固有値, 固有ベクトル
1 はじめに
2 多項式
6 固有値に対する補足
7 ケーリー・ハミルトンの定理; 行列の関数
8 体積としての行列式
9 有向ベクトル空間
10 3次元空間におけるクロス積; フルネの公式
11 行列式の微分法
5 エルミート形式とスペクトル分解
1 はじめに
2 双線形, 反双線形関数の座標行例
ググっても検索結果が0件な言葉takker.icon
4 エルミート写像
5 スペクトル分解定理続論
6 ユニタリ写像
6 行列の3角化とジョルダンの標準形
1 はじめに
4 エルミート, ユニタリの場合への応用
5 線形写像と行列との関数
7 線形作用素の分解について
8 ベキ零写像とジョルダンの標準形